组织者
Andrew N. W. Hone, 肯特大学
Frank W. Nijhoff, 利兹大学
Yang Shi, 弗林德斯大学
张大军, 上海大学
会议摘要
在整个连续和离散可积方程中，椭圆离散可积系统被认为蕴含着最为丰富的信息。关于这类系统的求解，涉及到特殊函数的一些新的性质，如双-椭圆加法公式、经典的函数与正交多项式的椭圆推广等。对于椭圆离散可积系统理论的研究在许多方面都取得了不小的进展，但一些重要的椭圆可积模型尚未获得应有的关注。这也是此次研讨会的举办背景之一。研讨会将汇集可积系统和椭圆函数理论各个方面的专家学者，交流在这些具有挑战性的可积模型方面的研究进展，发展相关理论。
举办意义
椭圆离散可积系统指包含与椭圆曲线相关的参数的精确可解的常差分方程或偏差分方程。在连续情况下，典型的例子是Krichever-Novikov方程和各向异性Landau-Lifschitz方程。前者方程中包含有关于因变量的任意四次多项式，可以将椭圆曲线与之关联；而后者涉及的各向异性参数与椭圆曲线的模参数相关。这些方程的离散形式的发现及它们在可积系统框架内具有的重要意义构成申请此次研讨会的主要背景。在描述离散时间的多体系统的常差分方程中表现出与相应的连续时间多体系统截然不同且更丰富的性质。最近，Zabrodin给出了一个从BKP方程约化获得椭圆多体系统的新例子。目前关于Painlevé型 (即其通解相对于可移动奇点是亚纯函数的方程) 差分方程已有完整的分类，分类中处于顶端的方程是1999年由H. Sakai发现的椭圆离散Painlevé方程。大约在Sakai的工作的一年之前，V. Adler发现了Krichever-Novikov方程的离散形式，该方程处于后来给出的Adler-Bobenko-Suris (ABS)著名的关于多维相容的四边形方程分类的顶端 (多维相容性定义了一种离散可积性，指低维方程可以相容地嵌入到更高维空间)。关于Landau-Lifschitz方程，目前有三个已知的独立的离散版本：一个由Nijhoff和Papageorgiou于1989年提出，一个由Adler和Yamilov于1996年构建，还有一个由Adler于2000年给出。迄今为止，人们对这三个离散的Landau-Lifschitz模型知之甚少，甚至还不清楚它们之间是否存在联系或如何关联。十分期待理解它们的解结构以及它们与其他可积系统的联系。最后，还有一个与Kadomtsev-Petviashvili方程相关的椭圆三维方程组，由Date、Jimbo和Miwa于1983年提出，最近由Fu和Nijhoff对其做了进一步研究。
除了椭圆模型以外，离散可积方程还存在多种类型的椭圆函数解，并涉及到一些新的特征。例如在Gelfand-Dickey型高阶离散方程的椭圆孤子解的研究中引入了新的“椭圆单位根”的概念。
椭圆离散系统理论中存在许多尚未解决且亟待研究的问题。发展椭圆可积系统的研究方法具有重要意义。事实上，椭圆可积系统处于可积系统分类的顶端，这类系统通过退化几乎包括了所有的可积方程。
近年来，不断有新的数学技巧和方法出现，用于研究这类系统及其精确解。这些研究逐步将来自于数学和物理的若干看似不同的分支结合起来，包括：渐近分析、代数几何、表示理论、谱/等单值性分析、随机矩阵理论、精确可解模型、特殊函数理论和组合几何等。这些贯穿于此次研讨会的主题内容，具体地，我们将关注：
--高阶和高维离散方程的椭圆函数解；
--高阶椭圆离散系统的构造；
--双-椭圆加法公式(出现于ABS的Q4方程的孤子解中)；
--椭圆离散多体系统；
--各种离散Landau-Lifschitz 方程的解的结构；
--椭圆Lax 对和等单值形变问题；
--椭圆正交多项式与相应的椭圆离散可积系统；
--椭圆自治与非自治常差分方程的约化，如QRT映射与椭圆Painlevé方程;
--离散可积系统的代数几何解与高亏格离散系统；
--整数(Somos)序列的递推结构的椭圆解；
--量子理论模型与统计力学方面的联系。
